Инструкция
Разложите любое двузначное число на составляющие, выделив количество единиц. В числе 96 количество единиц - 6. Поэтому можно записать: 96 = 90 + 6.
Возведите в квадрат первое из чисел: 90 * 90 = 8100.
Аналогично сделайте со вторым числом: 6 * 6 = 36
Перемножьте числа между собой и удвойте результат: 90 * 6 * 2 = 540 * 2 = 1080.
Сложите результаты второго, третьего и четвертого шагов: 8100 + 36 + 1080 = 9216. Это и есть результат возведения в квадрат числа 96. После некоторой тренировки сможете быстро делать шаги в уме, удивляя родителей и одноклассников. Пока не освоились, записывайте результаты каждого шага, чтобы не запутаться.
Для тренировки возведите в квадрат число 74 и проверьте себя на калькуляторе. Последовательность действий: 74 = 70 + 4, 70 * 70 = 4900, 4 * 4 = 16, 70 * 4 * 2 = 560, 4900 + 16 + 560 = 5476.
Возведите во вторую степень число 81. Ваши действия: 81 = 80 + 1, 80 * 80 = 6400, 1 * 1 = 1, 80 * 1 * 2 = 160, 6400 + 1 + 160 = 6561.
Умножьте количество десятков на следующую цифру в числовом ряду: 7 * 8 = 56.
Припишите справа число 25: 5625 - результат возведения в квадрат числа 75.
Для тренировки возведите во вторую степень число 95. Оно оканчивается на цифру 5, поэтому последовательность действий: 9 * 10 = 90, 9025 - результат.
Научитесь возводить в квадрат отрицательные числа: -95 в квадрате равно 9025, как в одиннадцатом шаге. Аналогично -74 в квадрате равно 5476, как в шестом шаге. Это связано с тем, что при двух отрицательных чисел всегда получается положительное число: -95 * -95 = 9025. Поэтому при возведении в квадрат можете просто не обращать внимания на знак «минус».
Полезный совет
Чтобы тренировка не была скучной, позовите на помощь друга. Пусть он пишет двузначное число, а вы - итог возведения этого числа в квадрат. Затем меняйтесь местами.
Источники:
- Возведение числа в квадрат
Некоторые изделия вяжутся не сплошным полотном, а из отдельных квадратиков. Особенно это характерно для вязания крючком. В этом случае бывает необходимо уложить в выкройку определенное количество квадратиков по ширине и высоте так, чтобы не допустить серьезных отклонений от размера. Необходимость вычислить размер квадрата может возникнуть и в том случае, если вы занимаетесь лоскутным шитьем.
Вам понадобится
- Линейка
- Выкройка изделия
Инструкция
Вязать из отдельных квадратиков необходимо строго по выкройке. Сделайте ее сами ли переведите из журнала и подгоните до нужных . Если при вязании цельного полотна мастерица сначала выбирает нитки и крючок, а уже потом делает расчет узора, то в данном случае необходимо поступать прямо противоположным способом.
Свяжите по схеме несколько квадратиков по предложенной схеме из разных ниток и крючками разной толщины. Отпарьте их и измерьте ширину и высоту. По выкройке измерьте ширину и высоту предполагаемой детали.
Разделите выкройки на размеры разных квадратиков и посмотрите, в каком случае получится целое число. Если целого числа не получается ни в одном случае, выберите вариант, который будет немного отличаться в большую сторону.
Если вам нужно знать квадрата для лоскутного шитья, решите сначала, какого размера будет все изделие. Например, для того, чтобы лоскутное покрывало, нужно знать его длину и ширину. Определите, на какое число делятся обе эти мерки. И по длине, и по ширине должно укладываться целое количество квадратиков. Это особенно важно, если мерки достаточно жесткие, и их нельзя не увеличивать, ни уменьшать.
Вычислив размер поверхности квадратика, которая будет видна, не забудьте о том, что фрагменты придется между собой сшивать. Соответственно, к вычисленным размерам квадратика необходимо приплюсовать еще припуски на швы. Как правило, они со всех сторон одинаковые. Это и будет размер квадрата, который вы будете кроить из лоскутков.
Полезный совет
В некоторых случаях необходимо из размеров выкройки вычесть припуск на застежку.
Постарайтесь, чтобы целое количество квадратиков умещалось во всех частях выкройки, в том числе по рукаву и проймам.
Возведение в степень – распространенное действие в математике. Трудности возникают при появлении нулевой степени. Не все числа можно возводить в эту степень, а для остальных действует несколько общих правил.
Возведение чисел в нулевую степень
Возведение в нулевую степень в алгебре встречается очень часто, хотя само определение степени 0 требует дополнительных разъяснений.
Определение нулевой степени включает в себя решение этого простейшего примера. Любое уравнение в нулевой степени равно единице. Это не зависит от того целое число или дробное, отрицательное или положительное. В данном случае есть только одно исключение: само число нуль, для которого действуют другие правила.
То есть, какое число вы не возводите в нулевую степень, в результате получится только единица. Любой ряд цифр от 1 до бесконечности, целое, дробное, положительное и отрицательное, рациональное и иррациональное при возведении в нулевую степень превращается в единицу.
Исключением для данного правила становится только сам нуль.
Возведение нуля в степени
В математике не принято возводит нуль в нулевую степень. Дело в том, что такой пример невозможен. Возведение нуля в нуль не имеет смысла. В эту степень можно возводить любое число, кроме самого нуля.
В некоторых примерах встречаются случаи, когда приходится иметь дело с нулевыми степенями. Это происходит при упрощении выражения со степенями. В таком случае нулевую степень можно заменить единицей и дальше решать пример, не выходя за рамки правил математических упражнений.
Все несколько усложняется, если в результате упрощения появляется переменная или выражение с переменными в нулевой степени. В таком случае возникает дополнительное условие - основание степени необходимо сделать отличным от нуля и после этого продолжить решать уравнение.
Точный квадрат любого числа, в том числе и нуля, не может оканчиваться цифрами 2, 3, 7 и 8, а также нечётным количеством нулей. Второе свойство любого квадрата натурального числа - оно либо делится на 4, либо при делении на 8 дает остаток 1.
Существует также свойство для деления на 9 и на 3. Квадрат любого натурального числа либо делится на девять, либо при делении на три дает остаток 1. Таковы основные свойства точного квадрата натуральных чисел. Убедиться в них можно с помощью простых доказательств, а также с помощью реальных примеров.
Возведение нуля в квадрат - сложная задача, которая не изучается в школе. Нуль, умноженный на нуль, дает такой же результат, поэтому сам по себе пример является бессмысленным и редко встречается в классической математике.
Таблица квадратов целых чисел от 1 до 100
1 2 = 1
| 21 2 = 441
| 41 2 = 1681
| 61 2 = 3721
| 81 2 = 6561
|
Таблица квадратов целых чисел от 1 до 999 и дробных чисел от 1,1 до 9,99.
Порядок поиска дробных чисел:
К примеру, вы хотите найти квадрат числа 1,26.
Находите в левом вертикальном столбце число 1,2, а в верхнем горизонтальном ряду находите 6.
Пересечение чисел 1,2 и 6 является искомым результатом: 1
,2
6
2
= 1,5876
Порядок поиска целых чисел:
Просто убираете запятую и получаете квадрат искомого целого числа.
Пример 1 (для двузначных чисел)
: Надо найти квадрат числа 36.
Находим квадрат числа 3,6. Это число 12,96. Значит, 36 2 = 1296 (убрали все запятые).
Пример 2 (для трехзначных чисел)
: Надо найти квадрат числа 592.
Находим пересечение чисел 5,9 и 2. Это число 35,0464. Значит, 592 2 = 350464.
Обратите внимание:
1) результаты умножения однозначных и двузначных чисел находятся в первом столбике (под 0).
2) чтобы найти квадрат трехзначного числа с нулем в конце, надо к квадрату двузначного числа просто добавить два нуля. Например, 560 2 = 313600
(к 3136 добавили 00 и убрали запятые). Результаты этих действий тоже в первом столбике (под 0).
6 | ||||||||||
1,2 | 1,5876 | |||||||||
| Продолжение » |
*квадраты до сотни
Для того, чтобы бездумно не возводить в квадрат по формуле все числа, нужно максимально упростить себе задачу следующими правилами.
Правило 1 (отсекает 10 чисел)
Для чисел, оканчивающихся на 0.
Если число заканчивается на 0, умножить его не сложнее, чем однозначное число. Стоит лишь дописать пару нулей.
70 * 70 = 4900.
В таблице отмечены красным.
Правило 2 (отсекает 10 чисел)
Для чисел, оканчивающихся на 5.
Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5, нужно умножить первую цифру (x) на (x+1) и дописать к результату “25”.
75 * 75 = 7 * 8 = 56 … 25 = 5625.
В таблице отмечены зеленым.
Правило 3 (отсекает 8 чисел)
Для чисел от 40 до 50.
XX * XX = 1500 + 100 * вторую цифру + (10 - вторая цифра)^2
Достаточно трудно, верно? Давайте разберем пример:
43 * 43 = 1500 + 100 * 3 + (10 - 3)^2 = 1500 + 300 + 49 = 1849.
В таблице отмечены светло-оранжевым.
Правило 4 (отсекает 8 чисел)
Для чисел от 50 до 60.
XX * XX = 2500 + 100 * вторую цифру + (вторая цифра)^2
Тоже достаточно трудно для восприятия. Давайте разберем пример:
53 * 53 = 2500 + 100 * 3 + 3^2 = 2500 + 300 + 9 = 2809.
В таблице отмечены темно-оранжевым.
Правило 5 (отсекает 8 чисел)
Для чисел от 90 до 100.
XX * XX = 8000+ 200 * вторую цифру + (10 - вторая цифра)^2
Похоже на правило 3, но с другими коэффициентами. Давайте разберем пример:
93 * 93 = 8000 + 200 * 3 + (10 - 3)^2 = 8000 + 600 + 49 = 8649.
В таблице отмечены темно-темно-оранжевым.
Правило №6 (отсекает 32 числа)
Необходимо запомнить квадраты чисел до 40. Звучит дико и трудно, но на самом деле до 20 большинство людей знают квадраты. 25, 30, 35 и 40 поддаются формулам. И остается лишь 16 пар чисел. Их уже можно запомнить при помощи мнемоники (о которой я также хочу рассказать позднее) или любыми другими способами. Как таблицу умножения:)
В таблице отмечены синим.
Вы можете запомнить все правила, а можете запомнить выборочно, в любом случае все числа от 1 до 100 подчиняются двум формулам. Правила же помогут, не используя эти формулы, быстрее посчитать больше 70% вариантов. Вот эти две формулы:
Формулы (осталось 24 цифры)
Для цифр от 25 до 50
XX * XX = 100(XX - 25) + (50 - XX)^2
Например:
37 * 37 = 100(37 - 25) + (50 - 37)^2 = 1200 + 169 = 1369
Для цифр от 50 до 100
XX * XX = 200(XX - 25) + (100 - XX)^2
Например:
67 * 67 = 200(67 - 50) + (100 - 67)^2 = 3400 + 1089 = 4489
Конечно не стоит забывать про обычную формулу разложения квадрата суммы (частный случай бинома Ньютона):
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
56^2 = 50^2 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136.
Возведение в квадрат, возможно, не самая полезная в хозяйстве вещь. Не сразу вспомнишь случай, когда может понадобиться квадрат числа. Но умение быстро оперировать числами, применять подходящие правила под каждое из чисел отлично развивает память и «вычислительные способности» вашего мозга .
Кстати, думаю, все читатели хабры знают, что 64^2 = 4096, а 32^2 = 1024.
Многие квадраты чисел запоминаются на ассоциативном уровне. Например, я легко запомнил 88^2 = 7744, из-за одинаковых чисел. У каждого наверняка найдутся свои особенности.
Две уникальные формулы я впервые нашел в книге «13 steps to mentalism», которая мало связана с математикой. Дело в том, что раньше (возможно, и сейчас) уникальные вычислительные способности были одним из номеров в сценической магии: фокусник рассказывал байку о том, как он получил сверхспособности и в доказательство этого моментально возводит числа до сотни в квадрат. В книге так же указаны способы возведения в куб, способы вычитания корней и кубических корней.
Если тема быстрого счета интересна - буду писать еще.
Замечания об ошибках и правки прошу писать в лс, заранее спасибо.
Таблица квадратов целых чисел от 0 до 99.
| x 2 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 0 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 |
| 1 | 100 | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 | 256 | 289 | 324 | 361 |
| 2 | 400 | 441 | 484 | 529 | 576 | 625 | 676 | 729 | 784 | 841 |
| 3 | 900 | 961 | 1024 | 1089 | 1156 | 1225 | 1296 | 1369 | 1444 | 1521 |
| 4 | 1600 | 1681 | 1764 | 1849 | 1936 | 2025 | 2116 | 2209 | 2304 | 2401 |
| 5 | 2500 | 2601 | 2704 | 2809 | 2916 | 3025 | 3136 | 3249 | 3364 | 3481 |
| 6 | 3600 | 3721 | 3844 | 3969 | 4096 | 4225 | 4356 | 4489 | 4624 | 4761 |
| 7 | 4900 | 5041 | 5184 | 5329 | 5476 | 5625 | 5776 | 5929 | 6084 | 6241 |
| 8 | 6400 | 6561 | 6724 | 6889 | 7056 | 7225 | 7396 | 7569 | 7744 | 7921 |
| 9 | 8100 | 8281 | 8464 | 8649 | 8836 | 9025 | 9216 | 9409 | 9604 | 9801 |
Чтобы воспользоваться таблицей выберите число десятков по вертикали, число единиц по горизонтале и на пересечении увидите результат. Например, 3 8 2 = 1444 .
2
Таблица кубов целых чисел от 0 до 99.
| x 3 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 0 | 0 | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 |
| 1 | 1000 | 1331 | 1728 | 2197 | 2744 | 3375 | 4096 | 4913 | 5832 | 6859 |
| 2 | 8000 | 9261 | 10648 | 12167 | 13824 | 15625 | 17576 | 19683 | 21952 | 24389 |
| 3 | 27000 | 29791 | 32768 | 35937 | 39304 | 42875 | 46656 | 50653 | 54872 | 59319 |
| 4 | 64000 | 68921 | 74088 | 79507 | 85184 | 91125 | 97336 | 103823 | 110592 | 117649 |
| 5 | 125000 | 132651 | 140608 | 148877 | 157464 | 166375 | 175616 | 185193 | 195112 | 205379 |
| 6 | 216000 | 226981 | 238328 | 250047 | 262144 | 274625 | 287496 | 300763 | 314432 | 328509 |
| 7 | 343000 | 357911 | 373248 | 389017 | 405224 | 421875 | 438976 | 456533 | 474552 | 493039 |
| 8 | 512000 | 531441 | 551368 | 571787 | 592704 | 614125 | 636056 | 658503 | 681472 | 704969 |
| 9 | 729000 | 753571 | 778688 | 804357 | 830584 | 857375 | 884736 | 912673 | 941192 | 970299 |
Чтобы воспользоваться таблицей выберите число десятков по вертикали, число единиц по горизонтале и на пересечении увидите результат. Например, 1 2 3 = 1728 .
Форма для расчета других значений:
3
Таблица квадратных корней целых чисел от 0 до 99 с округлением до пятого знака после запятой.
| √ x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 0 | 0 | 1 | 1,41421 | 1,73205 | 2 | 2,23607 | 2,44949 | 2,64575 | 2,82843 | 3 |
| 1 | 3,16228 | 3,31662 | 3,4641 | 3,60555 | 3,74166 | 3,87298 | 4 | 4,12311 | 4,24264 | 4,3589 |
| 2 | 4,47214 | 4,58258 | 4,69042 | 4,79583 | 4,89898 | 5 | 5,09902 | 5,19615 | 5,2915 | 5,38516 |
| 3 | 5,47723 | 5,56776 | 5,65685 | 5,74456 | 5,83095 | 5,91608 | 6 | 6,08276 | 6,16441 | 6,245 |
| 4 | 6,32456 | 6,40312 | 6,48074 | 6,55744 | 6,63325 | 6,7082 | 6,78233 | 6,85565 | 6,9282 | 7 |
| 5 | 7,07107 | 7,14143 | 7,2111 | 7,28011 | 7,34847 | 7,4162 | 7,48331 | 7,54983 | 7,61577 | 7,68115 |
| 6 | 7,74597 | 7,81025 | 7,87401 | 7,93725 | 8 | 8,06226 | 8,12404 | 8,18535 | 8,24621 | 8,30662 |
| 7 | 8,3666 | 8,42615 | 8,48528 | 8,544 | 8,60233 | 8,66025 | 8,7178 | 8,77496 | 8,83176 | 8,88819 |
| 8 | 8,94427 | 9 | 9,05539 | 9,11043 | 9,16515 | 9,21954 | 9,27362 | 9,32738 | 9,38083 | 9,43398 |
| 9 | 9,48683 | 9,53939 | 9,59166 | 9,64365 | 9,69536 | 9,74679 | 9,79796 | 9,84886 | 9,89949 | 9,94987 |
Чтобы воспользоваться таблицей выберите число десятков по вертикали, число единиц по горизонтале и на пересечении увидите результат. Например, √ 1 0 ≈ 3,16228 .
Форма для расчета других значений:
√
Таблица кубических корней целых чисел от 0 до 99 с округлением до пятого знака после запятой.
| 3 √ x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 0 | 0 | 1 | 1,25992 | 1,44225 | 1,5874 | 1,70998 | 1,81712 | 1,91293 | 2 | 2,08008 |
| 1 | 2,15443 | 2,22398 | 2,28943 | 2,35133 | 2,41014 | 2,46621 | 2,51984 | 2,57128 | 2,62074 | 2,6684 |
| 2 | 2,71442 | 2,75892 | 2,80204 | 2,84387 | 2,8845 | 2,92402 | 2,9625 | 3 | 3,03659 | 3,07232 |
| 3 | 3,10723 | 3,14138 | 3,1748 | 3,20753 | 3,23961 | 3,27107 | 3,30193 | 3,33222 | 3,36198 | 3,39121 |
| 4 | 3,41995 | 3,44822 | 3,47603 | 3,5034 | 3,53035 | 3,55689 | 3,58305 | 3,60883 | 3,63424 | 3,65931 |
| 5 | 3,68403 | 3,70843 | 3,73251 | 3,75629 | 3,77976 | 3,80295 | 3,82586 | 3,8485 | 3,87088 | 3,893 |
| 6 | 3,91487 | 3,9365 | 3,95789 | 3,97906 | 4 | 4,02073 | 4,04124 | 4,06155 | 4,08166 | 4,10157 |
| 7 | 4,12129 | 4,14082 | 4,16017 | 4,17934 | 4,19834 | 4,21716 | 4,23582 | 4,25432 | 4,27266 | 4,29084 |
| 8 | 4,30887 | 4,32675 | 4,34448 | 4,36207 | 4,37952 | 4,39683 | 4,414 | 4,43105 | 4,44796 | 4,46475 |
| 9 | 4,4814 | 4,49794 | 4,51436 | 4,53065 | 4,54684 | 4,5629 | 4,57886 | 4,5947 | 4,61044 | 4,62607 |
Чтобы воспользоваться таблицей выберите число десятков по вертикали, число единиц по горизонтале и на пересечении увидите результат. Например, 3 √ 2 8 ≈ 3,03659 .
Форма для расчета других значений:
3 √
Таблица значений тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс, котангенс) стандартных аргументов.
| π |
| π |
| π |
| 2π |
| 3π |
Чтобы воспользоваться таблицей выберите функцию по вертикали, значение аргумента по горизонтале и на пересечении увидите результат. Например, sin 90° = 1 .
Форма для расчета других значений:
sin cos tg ctg °
Таблица обратных значений тригонометрических функций (арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс) стандартных аргументов в радианах.
| arcf (x ) | 0 | 1 | -1 | 1 / 2 | - 1 / 2 | √ 2 / 2 | - √ 2 / 2 | √ 3 / 2 | - √ 3 / 2 | √ 3 | -√ 3 | 1 / √ 3 | - 1 / √ 3 |
| arcsin(x ) | 0 | π / 2 | - π / 2 | π / 6 | - π / 6 | π / 4 | - π / 4 | π / 3 | - π / 3 | - | - | 0.6155 | -0.6155 |
| arccos(x ) | π / 2 | 0 | π | π / 3 | 2π / 3 | π / 4 | 3π / 4 | π / 6 | 5π / 6 | - | - | 0,9553 | 2,1863 |
| arctg(x ) | 0 | π / 4 | - π / 4 | 0.4636 | -0.4636 | 0.6155 | -0.6155 | 0.7137 | -0.7137 | π / 3 | - π / 3 | π / 6 | - π / 6 |
| arcctg(x ) | π / 2 | π / 4 | 3π / 4 | 1.1071 | 2.0344 | 0.9553 | 2.1863 | 0.8571 | 2.2845 | π / 6 | 5π / 6 | π / 3 | 2π / 3 |
Чтобы воспользоваться таблицей выберите функцию по вертикали, значение аргумента по горизонтале и на пересечении увидите результат. Например, arccos -1 = π .
Форма для расчета других значений (результат в градусах):
arcsin arccos arctg °
Таблица натуральных логарифмов целых чисел от 0 до 99 с округлением до пятого знака после запятой.
| ln(x ) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 0 | -INF | 0 | 0,69315 | 1,09861 | 1,38629 | 1,60944 | 1,79176 | 1,94591 | 2,07944 | 2,19722 |
| 1 | 2,30259 | 2,3979 | 2,48491 | 2,56495 | 2,63906 | 2,70805 | 2,77259 | 2,83321 | 2,89037 | 2,94444 |
| 2 | 2,99573 | 3,04452 | 3,09104 | 3,13549 | 3,17805 | 3,21888 | 3,2581 | 3,29584 | 3,3322 | 3,3673 |
| 3 | 3,4012 | 3,43399 | 3,46574 | 3,49651 | 3,52636 | 3,55535 | 3,58352 | 3,61092 | 3,63759 | 3,66356 |
| 4 | 3,68888 | 3,71357 | 3,73767 | 3,7612 | 3,78419 | 3,80666 | 3,82864 | 3,85015 | 3,8712 | 3,89182 |
| 5 | 3,91202 | 3,93183 | 3,95124 | 3,97029 | 3,98898 | 4,00733 | 4,02535 | 4,04305 | 4,06044 | 4,07754 |
| 6 | 4,09434 | 4,11087 | 4,12713 | 4,14313 | 4,15888 | 4,17439 | 4,18965 | 4,20469 | 4,21951 | 4,23411 |
| 7 | 4,2485 | 4,26268 | 4,27667 | 4,29046 | 4,30407 | 4,31749 | 4,33073 | 4,34381 | 4,35671 | 4,36945 |
| 8 | 4,38203 | 4,39445 | 4,40672 | 4,41884 | 4,43082 | 4,44265 | 4,45435 | 4,46591 | 4,47734 | 4,48864 |
| 9 | 4,49981 | 4,51086 | 4,52179 | 4,5326 | 4,54329 | 4,55388 | 4,56435 | 4,57471 | 4,58497 | 4,59512 |
Чтобы воспользоваться таблицей выберите число десятков по вертикали, число единиц по горизонтале и на пересечении увидите результат. Например, ln 4 2 = 3,73767 .